Dopo aver affrontato, in un precedente articolo, la “Teoria dei Giochi” ho deciso di tornare sul tema. In questo articolo voglio parlarti del contributo di John Nash allo studio di questa particolare teoria sfruttata tutt’oggi in molti ambienti: economico, militare, fin anche ai giochi d’azzardo.
Con questo contributo vorrei concentrare l’attenzione sul fatto che John F. Nash ha avuto l’onore di diventare il primo matematico premio Nobel, ancora vivente, ad ispirare una biografia e successivamente un film.
Il successo del film, premiato nel 2002 con quattro premi Oscar, ha reso famosi il nome di Nash ed il suo legame con la “Teoria dei Giochi” anche tra il grande pubblico. Molte persone, tra cui il sottoscritto, hanno cercato nel film “A Beautiful Mind” qualche riferimento al lavoro di Nash nella “Teoria dei Giochi“. In particolare, ce n’è uno davvero caratteristico che pochi hanno notato.
Nel film A beautiful Mind, durante il corteggiamento ad Alicia, Nash pronuncia una battuta a doppio senso:
| No. I don’t believe in luck. But I do believe in assigning value to things“, ovvero “No, non credo alla fortuna. Credo all’importanza di dare un valore alle cose“. |
La spiegazione della teoria dei giochi
La “Teoria dei Giochi“, infatti, presume che una persona razionale possa attribuire una valutazione numerica ad ogni cosa e se ne serva per decidere il miglior corso d’azione. A questo punto possiamo fare entrare in scena un’altra parte del film, per mostrare un altro punto dove la finzione cinematografica lascia trapelare la teoria matematica.
Ci troviamo nella scena dove Nash si trova in un pub con gli amici. Nel locale entra una ragazza molto bella insieme ad altre quattro, meno carine, ma comunque apprezzabili.
Martin, l’amico di Nash decide di lanciare la competizione per la conquista della ragazza più bella, e tutti sembrano accettare. Insomma, siamo di fronte ad un vero e proprio “problema di corteggiamento“.
Nash a questo punto obietta che in questo modo le cose probabilmente andranno molto male. Dopo essere stata corteggiata da tutti, la ragazza bionda potrebbe non concedersi a nessuno. Tutti allora ripiegherebbero sulle amiche, ma queste, ferite nell’orgoglio per essere state considerate di seconda scelta, si dileguerebbero.
Insomma, come ci mostra Nash il problema ammette più soluzioni possibili, a cui corrispondono utilità diverse: chi prende la bionda consegue un’utilità maggiore degli altri. A questo punto Nash spiega agli amici che se ciascuno di loro va con una mora diversa questo realizza la massima utilità per tutti.
Ciò che Nash non dice è che questo lascerebbe a lui la bionda, realizzando fra tutti i possibili equilibri quello che gli consente di puntare alla bionda indisturbato. Nash agisce in modo da sfruttare le sue (superiori) conoscenze per massimizzare la sua utilità, magari a spese di quella degli amici.
Molti studiosi hanno cercato altri riferimenti alle teorie matematiche di Nash nel film, ma secondo me questi due esempi sono quelli che meglio rappresentano il genio di uno dei più grandi matematici dei nostri tempi, che ha avuto il privilegio di aprire un intero filone di ricerca che ha alla base proprio la “Teoria dei Giochi“.
Prima di chiudere questo mio contributo, sicuramente non esaustivo della materia, vorrei precisare che il mio intento non è stato quello di descrivere i passaggi e le dimostrazioni matematiche. Tuttavia, molto più semplicemente quello di provare ad onorare un grande economista e matematico dei nostri tempi attraverso dei semplici esempi sulle sue teorie.
Per chi volesse approfondire questi argomenti potrà trovare moltissimi riferimenti. Tuttavia, quello che forse è mancato a molti di voi fino a questo momento è semplicemente la curiosità di scoprire che dietro ad ogni scelta razionale c’è sempre un ragionamento logico matematico.
Gli aspetti matematici toccati nel film “A beautiful mind”
Il film “A Beautiful Mind” è basato sulla vita del matematico John Nash. Questi è stato un brillante ma tormentato matematico che ha fatto importanti contributi in diversi campi della matematica, tra cui la teoria dei giochi, la geometria differenziale e l’equazione differenziale parziale. Il film, pur essendo un adattamento romanzato della sua vita, tocca alcuni aspetti delle sue teorie matematiche.
- Teoria dei giochi: La più famosa contribuzione di Nash alla matematica è il suo lavoro nella teoria dei giochi. In particolare il concetto noto come “Equilibrio di Nash”. Questo concetto descrive una situazione in un gioco in cui ogni giocatore sceglie la sua strategia ottimale, considerando le strategie degli altri giocatori. Nessun giocatore ha nulla da guadagnare cambiando unilateralmente la propria strategia se gli altri mantengono le loro. L’equilibrio di Nash è un punto chiave nella teoria dei giochi non cooperativi. Questa ha avuto applicazioni in vari campi come l’economia, la politica, la biologia evolutiva e l’intelligenza artificiale.
- Geometria differenziale e equazioni differenziali parziali: Nash ha anche fatto importanti contributi in matematica pura, in particolare nella geometria differenziale e nelle equazioni differenziali parziali. Ha sviluppato un teorema che ha permesso di dimostrare l’esistenza di una varietà Riemanniana isometricamente immersa in uno spazio euclideo. Questo lavoro ha avuto un impatto significativo sulla fisica teorica, in particolare nella teoria della relatività generale e nella teoria delle stringhe.
Questo film illustra alcuni di questi concetti in modo semplificato e si concentra più sulla lotta di Nash con la schizofrenia. Tuttavia, offre uno sguardo affascinante sulla vita di uno dei più grandi matematici del XX secolo e sulle sfide personali che ha dovuto affrontare.
